Γ—正则半群上的若干同余
分类： 群论|代数、数论、组合理论|数学|数理科学和化学
文献类型：pdf 和 txt	出版时间：1994
作者：杨国为 朱平	关键词：幂等分离同余 Γ半群 同余 Γ正则半群
期刊名称：纯粹数学与应用数学.1994,10(1).-84-90	全文长度：7234个字
文献来源：http://www.6lib.com 第六图书馆	机构：青岛大学师范学院
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全文： Γ—正则半群上的若干同余 第六图书馆本文首先给出了Γ-正则半群上的群同余刻划。然后定义了Γ-逆半群的幂等分离核正规系,证明了Γ-逆半群上的幂等分离核正规系决定一个Γ-逆半群上的等分离同余,及Γ-逆半群上的幂等分离同余核是一个等分离核正规系。本文首先给出了Γ-正则半群上的群同余刻划。然后定义了Γ-逆半群的幂等分离核正规系,证明了Γ-逆半群上的幂等分离核正规系决定一个Γ-逆半群上的等分离同余,及Γ逆半群上的幂等分离同余核是一个等分离核正规系。幂等分离同余平青岛大学师范学院1994第六图书馆Γ半群同余Γ正则半群纯粹数学与应用数学杨国为朱 第１卷０ 第ｌ胡　 纯粹数学与应用数学　 ＰＵＲＥ　ＡＮＤ　ＡＰＰＬＩ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＥＤＣ　 ＶｏＬＩＮＯＩＯ＿　１９４８—９　９　４０ Ｉ９年．４—９　９４８Ｏ 、　 ｎ　 ｒ　 ｒ一正则半群上的若干同余’　 杨国为一　 一—一一　 一 朱 　 平…　 一　‘　 一　 （青岛大学师范学院．青岛，４０）（师专，胡．３００　２００集潮６　集２８ｏ） 摘 要 奉文首先给出了卜正则丰群上的群同奈刘划．然后定义了卜逆丰群　 的幂等分离核正规系，证明了卜逆半群上的幂等分离核正规系决定一个厂＿逆　半群上的幂等分离同余，及Ｆ逆丰群上的幂等分离同奈核是一个幂等分离技正　－规．．拓广了［】睾１的纬果，　 关键词ｒ一半群，　等分商回怠　 分类号０１２　５，７ 辞　 意　｛ １引理　． 设　，两非空集合．称为ｒ半群，ｒ是　一如果对所有ａｂｃ　，，ｅ，，，Ｅ　８ｒ都有（口ｉ曲　）Ｅ，ｉ６肚＝４（　）本文沿用［，】３的定义和记号，　（））ｉ　　６．１【，】】２［首先给出ｒ正则半群上的　一群同余刻划，然后给出ｒ逆半群上的幂等分离同余刻划．一下面先给出几个补充定义和引　 理．　 定义１１设　是ｒ半群．，．一称　为ｒ正半群，一如果对任意　Ｅ，．相关半　ｒ　（ 群）均为正则半群．　定义１．设　是ｒ半群．　为ｒ逆半群，果对任意￣ｒＭ．为逆半　．２一称一如ｅ，均 群．　 定义１．设　是ｒ半群．．３一定义Ｅ‘为　．的所有幂等元的集合．　 定义１．设Ｍ是Ｆ逆半　ｒ称Ⅳ一ＵⅣ．　．幂等离核规．４－群，．‘Ｅ：为的分正　 。　 ·－　 系．如果成立：　 ｃ：意．Ｅ　：　．子　．对任ｅｅ‘．的群．是 ｃ：意．Ｅ　：ｏ　Ｅ：　　对任ｅ　Ｅ‘。ｎⅣ．ｃ　· ·文啦到日期：９－１０车３＇－１　０ ··国塞自嚣科学基金资助课题　 ···作者摹兰州大学致学摹９－３２９年度访问学者　 一 ８一　４ http://www.6lib.com第六图书馆 １９９４年　 扬国为　 朱 平　 ｒ正列半群上的若千同余　一 ｃ：任ｅ，Ⅳ∞。：　－，意４对　。　　　　Ⅳ。　４‘ 其中４是４在　　。 。 中的—．文４’指口。：）唯逆后　是　ｅ（．　口　 ｒ　 定义１．设Ｐ为ｒ逆半群上的幂等分离同余．　．５一称 Ⅳ｛１．：ＥⅣ是　幂元·类为上挟。Ⅳ．Ⅳ‘·：古等　　ｊ村的·‘Ｕ．ｒ。一，瞳的　 定义１６设Ｍ为ｒ半群．Ｍ上的同余．Ｐ为Ｍ上的群同余，．．一Ｐ为称如果Ｍ／Ｐ　 是ｒ群．一　 引理１．设Ｍ为ｒ半群．　　一若对任意　ｅ．．正皿的．日一日‘ｒＭ是！则ｆ一日　 １… ， 日 一 ． 日：·一．且日．中至多含—十一幂等元－　　 引　设Ｍ为ｒ理２．一半群．．含　若日中有一幂等。．日篝运　元ｅ则日１：于算 作成—个群．　引理３设Ｍ为Ｆ半群．ｒ．ｆ。ｇＦ则当日．ｒ予半群时．任　．一设一　…１．为一对 意口日，ｅ．６　（．Ｅ．　，ｅ：）有６４　 证明　因Ｉ．为ｒ．子群．ｔ一则存在４ｅｉ　。ｌ ．， ４　 Ｅ　 ． 使口　二∽一口　·一４４－　加　。　 令６一　　ｅ．ｅ：）　Ｉ．－∞ｌ，　（．ｉ则６口口引．理４　设Ｍ为Ｆ正半如若４。，　．７，．。ｅ，４　－则群．图工，４Ｉ．，ｅｌ，　．．日ｉ　。。 一　 ．． ｅ 。　． － ｅ．， ７册，，，，一ｅＪ一７．ｅ　，时，ｄ４４一，．　　。ｅ贝有　．口４一 ．， 口－鼬　，１ 一，．ｎ　。，肋一ｅ ，二ａ其　－　（。’：），－　．中二ｅ：）　ｅ（．ｎ。日　ｎｎ　。　 ａ　 ｃ　． ＣＩ　 ａ‘　　 证明可由引理２和口】．得到　引理５设Ｍ为ｒ正则半群，Ｍ上的幂等分离圊余Ｐ§日　．一剐 证明　由引理１及—般半群上的幂等分离同余得到．口　 —— ８５—　— http://www.6lib.com第六图书馆 第ｌＯ誊　 纯粹鼓学与应用敷学　 第１期　 引．设为ｒ理６　一逆半若Ⅳ一ＵⅣ．群Ｍ。幂分离正系．群．‘：是半的等核规　 · ＿ ·　ｒ 。　 则ｐ一ｌ，）Ｍ×Ｉ∞　’曲　’　（ｂｅａ　４一６一ｆ ．． ４　ＥＩ是上幂分同　曲Ⅳ．　。的等离余．｝ 且梭Ｋ　 一Ｎ‘．　 结论可直接由幂等分离核正规系定　及［得到．４】　 引口理７．Ｍ是ｒ半的要件对意ｎ’一逆群充条为任ｅＥ，有：）１　ｒ总Ｉ（Ｉ．　口一　 ２主要结果　． 定义２１设Ｍ是ｒ正则半群．．．一称　的ｒ子半群Ａ为自共轭的ｒ子半群．一一　 如果对任意Ｅ　Ｅ成立（当４Ｅ（时．　ｒ　，ｆ　。口有∞　）　：）Ｍ　量，）存在ｘｅ，Ａ（当ｆ　，Ａ　ｙ 使　∞一虹，时，总存在　‘Ａ．ｅ使　肋一６．　　 令Ｃ一似ＥＭＩＡ为包含Ｍ的所有幂等元的自共轭卜子半群｝，　．，一ｎ可证ｒ￡一　 正财半群Ｍ上的群同余核握咆含　的所有幂等元的白共轭ｒ子半群．一　定理１设Ｍ是ｒ正则半群，．一则对子ＡＥ　，ｆ口ｂｅｘＭＩ在　Ｅ，Ｃｐ（，）Ｍ　存ｒ　ｅ，Ａ使　Ｍ一６｝　是　上的卜群同余．　证明对于任意　Ｅ，Ｃ的定义知，ｂｅｒ由　，）Ｐ当且仅当存在ｘｙＡ，，ｅ使　口ａ．一ｂｙ　下面证明Ｐ　是Ｍ．上的群同余．　 首先由口　’于（∽）∽一口　 。）　二，ａＡ因而４』，具有反身性．　，４－口ｅ．口口‘　ａｐ口』Ｐ　口（－　　６。二曲） （Ｊ６）ｂ占慢　’．　ｋ　 设ａ』．ｐｂ则有　Ｅ使　Ｍ—ｂｙ于是　　，ａ． ４［。ｃ）　曲】口４　　∞　伍　口６一（　。　 －凹　。ｃＪ曲　。皇［凹　　）６－　　）曲（口 由：ｎ口）（　曲　）　　　　６，，　 ４６￣）Ａ，　　，Ｐ　　ｃ　’ｂｅ因而ｐ４ｅｐ其省对耢牲．　 现设ａ』，ｐｃ则存在ｘｙＹ，　．工４＝占，　占墨ｃ＝因而（１）口ｐ占ｂ』，，，１　Ｅ使　　Ｙ１　．Ｊ　工　　’ＩＪ１（ａ）　（　）　曲）。（　　Ｊ皇ｃ（）由于Ｊ　，￣ｅ因而ａ－．　ａｘａ＝Ｙｘ占薯（１　－　ｃ＝－　“　．－ｚｙＡ，１ｐｃ　 即Ｐ　有传递性．Ｐ故　是Ｍ。的等价关系．上　 觋设ａ』，ｅ．于是存在ｘｙＡ，ｐｂｃＭ．，ｅ使　口一６Ｊ从而ｃ扣Ｙ（　－．曲　口　 ＝ｃ６　　口　ｃ　　　’　。ｃ４一ｃ４　　’　’ｃａ—ｃ“　　“口　ｃ￣￣Ｌ　 ， ｃ　ｃ４】　’　）　 ’ｃ）　　 ｃ　 ． 由　 于ｙ（　’ｃ’ｃｎ饵（ａ口　。ｃｅＡ因而ｃｂ　ｃ口那么ＰａｎⅨ　Ⅸ口）ａｘ４　　ａｐＥ．』是左同余．似可　类 ， 证ｐ』是右同余．对任意ｅ，　Ｅ‘令　一ｆＥ．　 。　 ‘　一ｅ　＂．由ＡＶ。，　￣ ｘｙＡ　，ｅ． 而　＂．　，故ｅＰ＝．．　‘因此ｐ　是Ｍ．上的群同余．　的任意性及ｒ群同余定义　由一 一 ８６—　 http://www.6lib.com第六图书馆 ｌ　年　９ 扬国为　 泉 平　 ｒ正捌半群匕一的若干同翕　 ５月　 得证定理最后结论．口　推论设Ｍ是ｒ正则半群．Ｐ一ｌ，）Ｍ　ｆ存在　．ｅ　ｅ使　ｎ一则　（ｂｅｘ＾Ｉ４ｙＵｒ．　 一 ６，是Ｍ上的最小ｒ群同余．　ｌ一　 ｆ　１　 定义２．Ｎ一｛‘．Ｌ，　：　Ｔｒ　称为ｒ．２Ｌ一ＵＮＩ；Ｊ　Ｎ．　ｅ｝一逆半群Ｍ的分离棱正　幂等规 系。如果：　 ， ：任意　ｒ‘对ｅ　是　．的幂等分离核正规系．　：任意　ｅ｜对　当　≠ｒ　时　‘≠Ⅳ’．　 ２ ／，对任意　ｒ存在４　使　’　．Ｃ：，ｅｓＮ‘　 ． ：任　ｅ４．６　一。ｅ一．ｎ　ｅ：，对意，　当∽二一０　　ｅ．ｔ．曲Ⅳ．有　，＂．时 ’ 一　－ ４‘一，　ｅ：，　‘肋’．　Ⅳ　 定．设＾是ｒ半群ｒ一ＵⅣ’　理２ｆ一逆　ｅ　‘‘，　：是Ⅳ．幂等离正的分棱规系．　若 ｅＥ’ｓＮ‘ｒ， ， 则Ｎ‘也是Ｍ　的幂等分离核正规系．Ｊ而且由Ⅳ‘Ⅳ。中决定的同余　在 与Ⅳ‘在　．中决定的同余—致．　 证明证明‘是的等离正系．弓及理ｊ　．中且　先Ⅳ也　，幂分核规由Ｉ引知．有　理ｉ只—一幂元ｔ日．Ｉ且日ｒ一ｔ卜子又：．　有个口等，｜．～是１ｆ’群·园Ⅳ．·　Ⅳ·　是Ⅳ的 子则对意ｎＥ：有ｎ　ｅ：于是群，任　Ｎ．曲’Ⅳ， ． Ｃ１肋　’雠：ａ一ｎ 。 肋　一曲二曲肋　　’　．’’ ． 一 （凸。－Ｅ：故Ｎ．　，子群·４二），Ｎ蕾．－：是的　 ． ． 下证ｃ：任．Ｅ．　暑．ｔｅ．·意面：意ｅ对　ｅ‘　　１ⅣⅣ．，Ⅳ．注到Ｍ．，　　，　　　中 幂元换　ｅ是Ⅳ。的～幂等可及。，：中　等元ｃ位，单位单元）　元　，是Ⅳ，Ｊ　的一单　 位元，单位元，　则　 ．　 ），）．）ｅ　　　　　一。 （，）。）扣，）Ｊｔ　　　　　一ｔ　 故ｅＥ：．，由理３引得，ｅ１又为，　　　）引及理７　Ⅳ．因　　再　　． 扣．），ｋ　．　）ｅ口　　　ｐ一。　（．）扣．）扣，）ｔ　ｅ　　　　　一Ｊ 从．ｅ：，，样引及理７．Ⅳ．·么任　而ｅ　（　）由理３引得ｔ　ｅ同　ｅ－那对意ｔ‘ ｅ：６Ⅳ，　一Ⅳｅ　有ｎ　 ， ． ．曲Ⅳ．，－ｓＩ　　）ｅ１即Ⅳｌ　　Ⅳ．　． 一 Ｒ７一　 http://www.6lib.com第六图书馆 第１０眷　 纯粹数学与应用鼓学　 幂Ｉ　期 接来明Ｃ：口　　Ｅ：　．ｎｎ。　ｎ。：。　下证　ｎ肋ⅣⅣ．＝　　．．且ｎ　Ｅ　　－Ⅳ 由引理４及　．Ｊ　中幂等元可换性得　 （　口　）ｎｎ　ｎ）　　ｎ‘　）　 一４，４．　ｌ　一４ｆ　ｔ－ｌ　　０Ｉ，『ａｌ８ｌｌ８０Ｉ　ｌｑ．０８，，ａ —ｎ，　　 Ｉ　　ｎｎ　 加　‘　一ｎ ’　船　’（ｎ）　 ‘　 一　）　 所以ｎ加‘：　ｎ’从由理３弓１得ｎ加Ⅳ　　ｅ（　）而引及暗　　　ｅ　　ｎ．７ 弓理４及ｃＩ　｝任意６Ⅳ　，ｅ　 ．由再　 口口ｄ．　。口４＿｜‘Ⅳ．．＿：ｔ　口４　）　Ｅｔ．，　．　　Ⅳ　　６　‘　６４Ⅳ　　柙 而且ｎ　Ｈｎ．如图由ｎｎ４‘一ｎ。得　二．Ｉ—　　　肛　　 ｎ　一ｎ，　－１ ｎｎ一ｎ口ｄｎ一）ｎ一，　ｎ　口　’　’（　　　　， 。　 ｅ，．　 ａ　 ｃ　ｌｃ　｜ 。　 丑　。　 因此由上面及Ｃ２　得 口肋　。口（６Ｊ∞　肋一　ｙ　） 。　 ＿ ，　 。　 ［ｎ。ｄ　　 ，Ⅻ　。，ＥⅣ　）ｋｔ ｔ，Ⅳｌ。一：。ｔ　￡：　ｔⅣ　　．ｅ‘．　 故ｃ成立　‘，也是　，的幂等分离核正规系－　设ｐ是Ⅳ。定的Ｍ。决 。 的同余，ＪⅣ‘　是决定的　，同余．的由引理６有　 － （Ｅ．ｄ　）ｐ当且仅当ｄ∞　‘￣－ｂ 一 ‘ 一 ． ｅ．， 口　ｅ：曲’Ⅳ ．　 Ｒ一　２ http://www.6lib.com第六图书馆 １９９４年　 扬国由　 来 平　 ｒ正则半群　的若工同索　一 ，耳　 扣ｂｐ当－ｅ，且仅当ｄ　一６。ｆ，＃Ｉ∈：）鼬，　一，ａ８－Ⅳ‘ 。　 由引理４可设ｄ口一６　　‘曲　。＝ｅ及引理５必有ａａｌ　ｌ ‘　 。， ∞６Ｎ，　一ｂ　　．　ｅ：口　。ｆ曲一．那么由引　理４ 。　，ａ－肋一６。６一，ｉ　口　 ，。　 ‘　 ６　 ’　，．肋　一　ａｅ　 ‘（￣。一ａｔ）ｂ∽ ４　 。　 口　的　曲 ，Ｉ即ｄ）。含（）．过也　ｅ．（ｇ隐ｄ印，来成Ⅳ，，ｐ６ｒ反６ 立．口　 定理３设Ｍ是ｒ逆半群，Ｍ上的幂等分离ｆ，ｐ的核是Ｍ的幂等分　．一ｐ是司余则离核正规系．　证明由ｐ的核定义有。　 Ｋｅ　。ｒ ｛．－ｒ．等。类Ⅳ　．　是元的）‘Ⅳ　　幂　　 、　 如‘每－含一幂元．含一幂元，‘Ⅳ．此们重果Ⅳ中个Ⅳ．　等ｅ又口等ｅ则Ⅳ＝　因我可　既．． 写　 ｆ　 Ｋ＝１Ⅳｒ：　幂　的类·ｅｉ．Ｉ　是一等。ｊｒ　　．ｐ　．　　 于是由阁知幂等分离拨正规系定义中　一：，ｒ　成立．由ｒ半群　上的同余定义及　再一引理６得　．故Ｋｅｐ为幂等分离核正规系．．ｒ口　 。　 ，　 ，　 ． 定．设Ⅳ｛‘ｅＥ｝－逆群幂分棱规贝理４一Ｎ　ｒｒ是Ｔ半　的等离正系。ｆ！　 是膨上的幂等分离同余．　 ｐ一（）　ｌ　，口ｂ－ｅ口　Ｅ：　，ｉ　Ｍ×存ｅ口　－ａ’．曲Ⅳ｝口Ｅ在　　ｒｈ＝， ～　 ．　 证明　由ｐ的定义及［１，是Ｍ５　５知ｐ　的等价关系，是Ｍ且 ． ｇ）ｒ上幂等分离同　 ，　 余一对于７ｒＥ—　由巳知存在　　使　’Ⅳ‘ＵⅣ：这样由定理ｌⅣ‘ｓ　一得也是　 ｔ ． ●ｒ　 ． 。 上的幂等分离核正规系　‘在　 等分离同余．　 ，　 。 上决定的同余是同—个ｐ故ｐ也是　　．　 ． 上的幂　 致谢：导师郭幸琦教授的指导和另一位访问学者赵宪钟的建议感谢 ．　 参考文献　 ｌＳｔＡ．·ｅｈ．ＣｏｎｒｅｃＯｌ］－Ｇｒｕｐｇ￣ｎｃｔｉａ＇ｏ 。 Ｓｏｈｗ，Ｍａｈ２１９）３—３　ｏｃｏＪ．ｔ，（９１３２７２ ． ２　ＳｈａＮ．。ｎＦＳｍｉｒｕｐｍ。ｌＣ１ＭａｈＳｃ８（９８１２ａ．ＫＯ　－ｅｇｏ－Ｂｕ１ａ．ｔ　ｏ　０１８）—１　１　Ｓｔ．，ｅｅｈＡＲｅ￣ｓＴｈｅｒｍｆｒＴ－Ｓｍｌｒｕｏｅｏ－ｃｇｏｐＢｕ１ｅＬ．ａｈ．ｃ８（９９２１—２６ｌ．１ＭｔＳｏ　１１８１７２　 ． ｛－ＰｒｓｏＧ．Ｉｅｓ　ｃｉｒｕｐＬＬｎｏ　ｔ．ｏ，９１５）９－４３ｅｔｎ－Ｂ，ｎｖｒｅｓｍｇｏｓｏｄｎＭａｈＳｅ２（９４３６０　－ ， ５ｅ　Ｋａｎ　ａａＮ．．ｒｈｄｏ　－ＳａＭ　ｄＳｈ　ＫＯｔｏｘｒ—Ｓｍ［ｒｕ￣Ｌｎｔｒｔ，Ｍａｈ＆Ｍａｈｅｇｏｐｅｎａｔｔ　Ｓｃ１１９＇２—５４　　０Ｊ７３　９５ ．—— ８—９—　 http://www.6lib.com第六图书馆 第１Ｏ卷　 纯粹数学与应用鼓学　 第１期　 ＣＯＮＧＲＵＥＮＣＥＳＯＮ　 卜 ＲＥＧＵＬＡＲ　ＳＥＭ１ＧＲＯＵＰ　 ＹａｇＧｕｏｉｎ　ｗｅ　 （ｎＴｉｃｃｃ，Ｃｏｌｇ，ｈＴｉ２４０）Ｙａ　ａ　ａｈｒＴ‘ｌｅＹａ　ａ，６０Ｏ　ｅ ＣｈＰｉ　ｕｎｇ （ｎｏｕＴ８ｈ　ＣｏｅｅＣｈｏｕ２８０）Ｃ＇ｈ　ｃｃｃａｌｇ，ａｈ．３０Ｄ　 Ａｂｔａｔｓｒｃ　 Ｔｈｓｐｐｒｆｓ　ｉｃ　　ｈｒｃｅｉａｉｎｏ　—ｇｏｐｃｎｒｃｃ　Ｄ且卜ｉａｃ　ｒｔｇｖｓａｃａａｔｒｔ　ｆｒ　ｉｚｏｒｕ　ｏｇｕｎｏＯ ＳｍｉｒｕＴｈｃｅｇｏｐ．ｎ　Ａｎｄｍｐｔｎｔｓｐｒ￣ｎ　Ｋｅｎ　ｉｃｏｃ－ｃａａｇ－ｒｄ　ｎｒａ　ｓｓｅｏｍｌｙｔｍ　ｏｆ卜 ｒｇｌｒｅｕａ　 ｊｖｆｅｎｅ。　 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