一个平面射影命题的多种证法
分类： 数学|数理科学和化学
文献类型：pdf 和 txt	出版时间：1991
作者：刘淑纯	关键词：高等几何 平面射影命题 代数法
期刊名称：益阳师专学报.1991,8(2).-74-77	全文长度：2867个字
文献来源：http://www.6lib.com 第六图书馆	机构：不详
查看次数：103	分类号：O18
全文： 一个平面射影命题的多种证法 第六图书馆高等几何平面射影命题代数法益阳师专学报刘淑纯不详1991第六图书馆 ７　４ 一 个平厨射影命题的多种证法　 刘 （数 淑 学 纯　 系）　 ０　 １ Ⅲ　 ｌ　１ 　 高等几何构证题方法通常有代数法和综台法两种。所谓代数法，就是利用坐标通过　 １　 代数运算证　命题的方法；所谓综合法，就是在已有的概念和定理的基础上，借助图形　 Ｉ　ｌ 　 直观进行逻辑推理证明命题的方法。本文分　利用代数法．综台法给出—个乎面射影命　 遥的多种证法。。　　羔 ＝ 釜　趣蕊　 越ａ汪　 。曲　 命题：设Ａ、Ｂ、ｃ是不共线三点，Ｐ是过ｃ的一条定直线ｉ的动点，ＡＰ与ＢＣ交于　上ｘ，ＢＰ与ＡＣ交于Ｙ，则ｘ、Ｙ通过一个定点。　 证法一：（　代数法）　取定直线Ｌ上任意陌点Ｐ，Ｐ　。设ＸＹ　 交Ｘ，Ｙ于Ｓ　　　。 １、建立坐标系：　 职点Ａ、Ｂ、Ｃ为坐标三角形顶点，Ｐ　 点为位点，各点的射影坐标为：　 Ａ（１·０·０）、Ｂ（·１·０）０　Ｃ（０·０·１）、Ｐ（１·ｌ·１）　 义Ｐ点与点Ｐ，、Ｃ共线，故Ｐ帕射影坐标　　 可为Ｐ（１·ｌ·）　　　 ２、求直线Ｘ、Ｙ的线坐标：　 Ｘ：ＡＰ×ＢＣ又ＡＰ的线坐标为ｌ，　 ／ｌ　０ ’　 ｉｆ＼　　 Ｌ　１ ：　ｊ） １　０ － 印：ＡＰ　ＢＣ的线坐标为：　 ｆ　 １　０ ｆ　）　 拳史于１１年４日１日托引　９１ http://www.6lib.com第六图书馆 一 个平面射影命题的多种证法　 ７　５ 得ｘ的坐标为：　 ‘（１－．　 即：Ｘ（０·１·１。）　 ·一）；　　Ｉ ）　 Ｙ＝ＢＰ×ＡＣ，又ＢＰ的线坐标为：　 （　 即：ＢＰ（１·０·一１）－－ｏ　 ＡＣ的线坐标为：　 （··）　　ｌ　ｒ　　 叩ＡＣ（０…１０），　　 得　的坐标为：　 ＼　　一 １　 ０　 ０　 ０　 Ｊｉ—）　　　／１ｌ　　 ０　一１ 。 鄱｛Ｙ（１·０·１）　 由　可得ＸＹ的线坐标为；　 １Ｉ　　 ｌ０　　 １１　０　ｌ、　　 １　ｌ。１ｌ　ｏ’　　０ｉ　‘１ｌ／　　 印ＸＹ（１·１·一１）　 ３、求直线ＸＹ　　的线坐标：　 　　由Ｘ　ＡＰ　×ＢＣ，得Ｘ的坐标为｝Ｘ（　ｌ、）。　　０、 由Ｙ　：Ｂ　×ＡＣ，得ＹＰ　的坐标为：Ｙ　（１、０、ａ）。　　 　由上可得Ｘ　的线坐标为：ｘ　Ｙ　Ｙ　（ａ，ａ、一１）。　 ４、求直线ｘｙ与Ｘ　的交点Ｓ　Ｙ　： 　由ｓ＝ｘｙ×Ｘ　　得Ｓ的坐标为：ｓ（Ｙ，　—ｌ　ｌ—ａ、０），， 卸Ｓ（１、一１、０）　 上。　 显然，点ｓ的坐标为定值，与　无关；且Ｓ直线ＡＢｌＸ｛＝０　在　　 放ＸＹ过ＡＢ上一个定点ｓ　。 证法＝：（代沙格宠理）　用　职定直线１上任意两点Ｐ、Ｐ，考察三点形ＰＸｙ￣ＰＸ　　　　　Ｙ； http://www.6lib.com第六图书馆 ７　６ 直阳师专学报　 ｌ９年弟２瓤　０ｉ 对应顶点联线ＰＰ、ＸＸ、ＹＹ　　　交于一　 点ｃ，故对应边交蛭Ａ、ｓ、Ｂ三点共线。　 如果取定直线ｌ一点Ｐ，那么ＸＹ交ＡＢ上　于点Ｓ对于ｌ，上任意点Ｐ，直线Ｘ　　通过　　Ｙ ｓ，故ｓＡＢ一定点　为上 汪法三：（代一格对偶定理）（如　用　 ２）　 永定直线ｌ任意瓶点ＰＰ上、　 考察三　 点彤ＡＸＸ　Ｈｆ；ＢＹＹ　对应边交点ＰＰ　；　　、 ｃ共线Ｉ故对应顶点联线ＡＢ、ＸＹ，Ｘ　Ｙ，　共点　’　 若取窟直线上一点ＰＮＸＹ交ＡＢ于Ｓ　，，对于ＩＥ意点Ｐ，直线Ｘ　通过Ｓ，设Ｓ　任　　Ｖ　为ＡＢ上一定点。　 证法四：　 （全四点形调和性质）完　 取定直线Ｉ任意点Ｐ，并设ＡＢ交ｌ点　上于Ｄ、ＸＹ交ＡＢ点Ｓ，考察完全四点形ＣＸｐ于　Ｖ，有（ＡＢ、ＤＳ）＝一ｌ，而四点Ａ、Ｂ、　 Ｄ、ＳＡ、Ｂ、Ｄ三点是定点，无论点Ｐ在定　中 直线ｌ怎样变动，总有Ｘｙ过Ａ、Ｂ、Ｄ的唯　上 一 的第四调和点Ｓ，Ｘｙ过ＡＢ上的定点Ｓ　故。 附；若直线ｌＡＢ平行，则ｌＡＢ于无穷远点Ｄ，对于完全四点形ＣＸＰ有｛与与交　ｙ　（ＡＲ，ＤＳ＝一１，即（　　）Ｂ ‘　 Ｓ　）＝一ｌ，易知此时ｓ线段ＡＢ的中点。那么　Ｄ为 当Ｉ行ＡＢ时，ＸＹ通过线段ＡＢ的中点。平　证法五；（视法）　透　取定直线【任意两点Ｐ、Ｐ，设ＡＢ交ｌ上　于点Ｄ，ＸＹ交ＡＢ点Ｓ　于。 ＹＣｙ　Ａ夭Ｂ（ＰＣＰ　Ｄ）　 Ａ（ＰＣＰ（）Ｄ　天ＸＣＸ　　Ｂ一　 ：　 所以：ｙＣｙＡ　Ｘｃｘ　，而ｃ点自对应，故：ｙＣｙＡＸｃＢ对应点联线ｘＹ，　Ｂ　　ｘ　。　 Ｘ　　、ＡＢ点。Ｙ共　故Ｓ为ＡＢ上～定点　’　 取定直线ｌ一点Ｐ，ＸＹ交ＡＢ点ｓ则对于ｌ上于；上任意点Ｐ，直线Ｘ　　过定点ｓ，　Ｙ　附　当ＡＢ平行定直线ｌ此证仍然成立，只须把证明中的点Ｄ的符号改写为Ｄ对　 http://www.6lib.com第六图书馆 一 个平面射影命题的多种证法　 ７　了 由上可见，代数法和综合法各有利弊，代数法的优点在于比较客易找到解决问题的　途径，决点是往往比较繁琐。综台法的优点是优美、简洁　缺点是千变万化，难子找到　解题思路。但在综合法中，最基本的是透视法，因为其它定理和挂质都可以看作是遥视　 法的应用。因此，可以这样说；掌握了透视法就是掌握了证明射影命题的基本方法。　 ’　 土接帚７３兔　’　 九一年三月　 证明：这个不等式的证明方法很多，下面利用导数来证明。　 设ｆＡ，Ｂ）（　ｓｎＡ＋ｓｎ＋ｓｎＣｉｉＢｉ　 ＝ｓｎ＋ｓｎ＋ｓｎ（＋Ｂ）ｉＡｆＢｉＡ　 一ｓｉｃｎｏ＋ｎ＋）半ｓ　ｓ（Ｂｊ　Ａ ＝ ２ｎ［　　ｓ　…　 …　 ］．　 ４ｎ妄ｃＡ。　　　旦。　ｓｓ　ｓｃ导　则　ＡＢ２ｓｃ（导：　令￡，）　Ｂ。Ａ）ｏ（＝ｃｓ＋ｏ ＝ ｆ（　ＢＡ，Ｂ）＝２ｃｓｃｓ（　Ａ）　ｏＡ。Ｂ ＝ Ｏ　 ．。≠，。年　．ｓｏｃ鲁ｏｃ　ｓ ｃｓ（＋ｏＡ　 ．　 ０　 ‘　 ｃｓ（　Ａ）。Ｂ ＝ ０　 由可ＡＢ吾故ＡＢｆ，）　大吾／（由去。此知：　。当＝时（Ｂ达『值ｖ理略）Ａ最　　 ．　 ｓＡｓＢ　ｃ要／　　＋ｉ＋ｎ≤ｖ§。ｎｎ　 ．　 http://www.6lib.com第六图书馆
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