非平衡态统计力学对布朗运动的应用
分类： 物质分子运动论|热学与物质分子运动论|数理科学和化学
文献类型：pdf 和 txt	出版时间：1994
作者：孟秀兰 张德沛	关键词：布朗运动 马氏过程 非平衡态 统计分布函数
期刊名称：河北师范学院学报:自然科学版.1994(3).-60-64	全文长度：5458个字
文献来源：http://www.6lib.com 第六图书馆	机构：不详
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全文： 非平衡态统计力学对布朗运动的应用 第六图书馆布朗运动马氏过程非平衡态统计分布函数河北师范学院学报:自然科学版孟秀兰张德沛不详1994第六图书馆 ６　Ｏ 河北师范学院学报（自然科学版）　 １９＾　９４ ６　６Ｄ一　 非平衡态统计力学对布朗运动的应用　 Ｖ　 ————一一　 徐树山　 ２／、　 ，　 摘 要 本文以非平衡态兢计力学的观点，方法建立是布朗运动理论的断表述．以代替古老　 的布朗运动表述，并以此傲为反映自然科学理论发展水丰的一种手覆．　 布朗运动的非平衡态经典统计的唯象理论在有些教科书中已有讨论，但它是建立在一系　 列明确的规定之上的，而有的规定条件是不可能满足的．因此它只能说明现象产生的当然而　 不能论其所以然。从人类生产实践范围的１趋扩大．３科学理论的发展动态与趋向看．布朗运动　 最终理论归宿可能在一定历史阶殷上就是当代方兴未艾的非平衡态统计力学．朗运动是指　布大量线度在ｌ‘ｌ－Ｏ～Ｏ厘米的宴体小颗粒系统．且其每个颗粒为处于做为环境的平衡状态下的　　均匀介质分子在１“～ｌ　高频碰撞所驱动．而。布朗系统中各个颗粒均遭大量介质分子　００次因从四面八方撞击的统计平均作用．致大量布朗粒子构成的布朗系统的过渡态是处于依时间　以 而动荡不定的宏观的不平衡形态．称其为非平衡态。由于布朗粒子存在于平衡态下的均匀介质　中，经过足够长的相互作用时间之后．便自然地“忘掉　自己的初始速度，从而，布朗运动　 过程具有马尔柯夫性质　．朗粒子运动不再遵从牛顿经典力学，其速度、位置不能象经典力　］布 学那样为起始条件完全确定。　 以上的分析道出了把布朗运动另纳入非平衡态统计力学范畴的可能性和依据。到２世　直０纪§年代的今天这个领域的研究仍然具有很强的生命力．Ｏ　 １布朗运动的统计定义　 布朗运动及其研究是属于一个统计力学范畴。其共性体现在一切布朗运动过程中表现出　的各布朗系统整体的共同的统计规律上。　 如入ｐ＝（Ｊ　ｏｓ引｛２ｍ　）｝ｃ　Ｉ／　ｍ ；／　（ｍｋ） 则系统的平衡态，非平衡态分布函数可以Ｊｎ。分别表为：　 ｇｇＪＪｆｆＪⅡｔ　　（）　＝（ｔ，） 此处Ｊ称为作用变量；为作用角变量．如一维谐振子的哈密顿Ｈ；ｎ称例　 http://www.6lib.com第六图书馆 第３期　 孟秀兰等：平斯态统计力学对布朗运动的应用　非 ６　１ ＨＰ，　　ｎ＝五１虿ｑ一：ｋ　＿　 从统计力学角度看．布嚣柱子系统作为一个力学体系与一个恒温器嵇接触，就是说将一个　将也 处于运动状态下的非平衡态的布朗统计系统，所处于其中的平衡状态下的圪囱介质（水，与如　 空气　·弱耦合构成一个太系统。）　 从上可提炼出布朗运动的一般的，的统计定义：质　个大系统中仅有少效一个或几个子系统的运动自由度。在其余子系统各个自由度均保　 一 持在平衡状态下，向最终的统计平衡状态的演化问瑟谓为布朗运动．这个统计定义，明显地概　括了以水中花粉空气中烟粒等运动表述成的布朗运动的形色不同的具体定义．　 ２布朗运动的普里戈金非平衡态统计理论［　　］ 在平衡态统计力学中，吉布新等人经过长期探索，终于建起了完整的系综理论．与其不同，　非平衡态统计力学至今还未达到一十完整的系统理论阶段，而尚处于理论，方法出自多家前探　索、创新阶段。当然，朗运动的非平衡态统计理论也不能例外．布从而．布鲁塞尔学派的创始人、　诺贝尔奖金获得者，里戈金提出的布朗运动的非平衡吝统计理论应做为当代非平衡态统计　普 理论发展长河中的一家，派的理论与方法。一诚然．当前非平衡态统计力学理论发展现状很大　 程度上是由于动力学方程的非线性而求解困难所致．里戈金是一位推动、展并做出巨大贡　普发献的化学和物理学家。宏观的非平衡态理论方面著有“平衡态热力学”不可逆过程热力　在非即学；应地，微观的菲平衡理论方面著有“平衡态统计力学”在远离平衡态方面刨立了耗　相在非Ｉ 散结构理论．按上述布朗运动的统计定义　鲁里戈金理论框架可表做　 恒温器　始终处于坑计平衡态下，自由度可采用处于平衡温度下的系统的正贝统计　是其Ｉ分枣．据以上讨论，此一般表做：ｇ（，布朗系统常处于非平衡态下，应表为ｆＪ根在儿　　）而相（．　ｔ．在此弱耦合下太系统的统计分布函数可按缸下形式表做：）则　 ＰｆＪ，ｌｇＪｒ■ＺｆＪｔｉ，。　－。＝（ｔ…　　ｔ　　　ｆ）ｌ　‘【）Ｊ）ｉｋ）＝Ⅱ（，ｅｌ　ｇＪ　　　　３ｃ＝一＊ 一 疆｛（）　一蠹＋　　 ’　 ｒｒ。　ｊ　　 １［　 ｃ　 （　２） 考虑弱耦台情况．略去△　（　）：并ｉｎ顶　 ｒ　 一　 ， ， 、 ￣ＴｚＴＪ　／　　ａ．』１４　Ｔ￣ＫＣ　（Ｅ·疰＋（ＥＥｌ　Ｋ）　一（／ＥＫＩｊｌ）｝　 将（）入（）右方的｛），２代１式　中得到｝　 ｆＪ·＋（　）ｋＴ　Ｔ／　　（ａ）　Ｋ）　赫Ｊ（　（一ｔ　　ｆ￣ＫＣＫ（墨）ｆａＥ（—ＴｆＪ）／＝　Ｉ　Ｅ＋／　Ｅ　＋　３） （）中ｆ是我们所求的布朗系统的非平衡吝统计分布函数．３式即　 ３布朗运动的统计性质　 令ｘ　ＫＴ＝ＥＫＴ，ｒ（｛＝Ｅ／／＝ｃ　ＫＴ）一（！ｔＣＸ￣ＫＴ）—ｔｔｔ／，ｍ　 引入到（），３式于是　 http://www.6lib.com第六图书馆 ６　２ 河北师范学院学报（自然科学ｉ）ｌ　１． １９辜　９４ ／＝／＝　ｘｘ差ｘ１一ｆ　玉　（ａｆ（）　　／：一一ｆ）十　 令ｌｆｅ　。　　 则（）左方；４式　 （　４） ｅ姓　　 玉　（／／）＋ｅ　ｎ）／＝。Ｉ１·（ｘ警　ｅｅ　号－‘￣　ｌ 右方；　 ＝（２ｎ＋　＋ｘ十　２一一ｎ） （５）　 （　　＝·＋（）　）２ｘ　缸／釜　　ｅ　。（ｎ２鲁ｘＸ　（～ｅ　２一）＋　ｌ：６ｘ　＋十ｘｅｍ磬　）／ｅ　 盖（１－－　／＋ａ／　ｘ）一ｎｘｘ．ｘ一ｆ　ｆａｆａ 一２ｎｘ）ｎ＊－）ｘ－一（　３ｅ／／Ｆｅ．ｖ警　一—ｖ－２ｚ（－／ｚ￣＊ｅＸ州ｌｅ警ｘ＂．Ｚ ｎ＂ ＝一　 （７）　 （）８　 ｅｚ－　 ｅ。　　 将以上三个式子代人（）（）４、５式得：　 ａ．打一｛（教　＋（＋１）／一ｎ　）／【ｘ　／）ｎ一ｘａ缸）取　＝ｅＰｘ　　（）（）９　（Ｏ　１） 则（）９式转为；　 ｘｄｐｄ　＋（＋１）ａ／ｘ一（—ｍ＞＝０（　／ｘ）ｎ一ｘ（ｐａ）ｎｐ　 上式（１正是组合Ｌａｕｒｅ多项式Ｌ（）准方程。１）ｇｅｒ　ｘ标　 （１１）　 如以通解代替特解（ｏ式　１） ∑。　一　， 最后　 ｆ一１ｆ（　互ｎＪｅ—　 ：—＝ ｆ　。＋ （…＋．　　ｃ）ｌｃ １∑ｅ　一一　，（）ｅ　ｘ　∑。，　２ｅ　 一－　 ＋　 ￣Ⅱ／２　 （）。…，ｃ］　［　＋．　　 。　 （２　１） 考虑到：５＝１ａＬ。；　一常量　） 常数口＝（－ｎ】（）ｘ　（。—　ｅ　ｍ－）／ｍｊ　　Ｌ’ｘ）　 Ｖ　 ｘ，ｃ。口即起始条件Ｊ，。。ａ　（２式进而写做：１）　ｆＪａｔＪ，，）　２　ｅ　ｌｍ１　　（ｏＬ（）（．．【。ｏ＝ｅ／Ⅱ　一（）’Ｊ）　Ｊ　Ｌ ＿。Ｄ　 ＋ｅ　２　一／ｎ （Ｊｅ）ｃｓ口Ｊ口。　。ｎ（一　一蚍）　　 http://www.6lib.com第六图书馆 第３期　 孟秀兰等：非平衡态兢计力学对布朗运动的应用　 ６　３ ． ～ ∑ｅ（－）（』（）（　－ｍｎＩｍ）Ｊ　Ｊ一／　。） ｎ　 （）１　　３ 利用ＭｙｌｒＬｂｄＨ公式ｒ　ｌ－ｅｅｏｅ　Ｌ］ ｅ［　］Ｊｔｗｍｎ】ｍ），）（）　ｘ一ｐ（ｏａｚ－）（１ｕ　ＪａＪ）－∑（￣／　。－ ＝ 击ｅ｛ＵＪ］）（／－）　一＋（１２（ａｘ［　２嵩ｉ　１）ｐ‘　 （）１４　 其中ｋ为纯虚宗量Ｂｓｅ函数。ｅｓｌ于是（３式右方第二项改造成为；１）　 去　蚤 ＝蚤　ｅｅＪ（）　｛’　ｏＪ　一）Ｊ￣．。－．　 · ．　 ￣＜ｎｔＩ　Ｊ　Ｊｅ　　～）ｍ）（）（’）　｝一－－ｌ　）（（）‘一ｍＩＬ。一ｅ　 ｎｌ２１ｅ　‘－　　（一　）　 ＝－２￣　／　 · －　。ｐ－Ｊｏ）（　ｔ］ｘ［（＋Ｊｅｌ１）．＂　（５　１） Ｉ２Ｊ‘】ｅ）ｅ～　　　　Ｊ。　．ｒ　一’［ｅ（　］ 当ｒ　 （３式右方只有第一项存在．由于Ｌ。ｘ一１１）且５（）　’ ＊　 Ｌｍｅ／丌ｅ（）　（）　（）一．ｊｃｃ　丁ｉ｛　∑…／ｍ！ＬｘＬｘ）ｃ．　＝ｅＫ一２　。ｅ—一　 卜∞　Ｉ－Ｏ　 （６１）　 由于时问均匀增长是无限的．一个布朗系统从任一非平衡态开始必然要经历足够长时间以平　 衡态而告终，它的分布函数也由ＩＪ椭．）达ｃ　（。ｔ到ｅ向性的理论依据为非平衡态统计力学所提供。　（衡态下分布函数）朗运动的自发指　平布 下面再来看一下韧始条车在布朗串运动中的演化．　 欲：∑ＬｆＩ）磐出从而（）方第求ｆ，为（式，Ｉ式右二琐；。５３　 （（（ｅ）ｘ－ＪＪ￣１｜　）１－－）ｐ（＃／　）１１＇ｅ［＋（］　 ‘ ｛　￣Ｊ　（＝）∑Ｉ２Ｊ／－　］［／＠１ｅ　 ＝ （）／一Ｉｘ一＋．／一］去ｎ（ｅ］ｐ（Ｊ（ｅ　１．ｅ［Ｊｅ１　）　 ．　 · 善．Ｉ　［２ （ｅ］１＂ｃ－）　…。）。　　 、　 （）Ｉ　７ 利［，）。　ｅ一Ｉ），式　’一用妻Ｉ］　：［一（］上：　　（　ｚ—　叫ｚ 从（８１）式可见起始条件的演化：　 Ｊ的作用依时间增长而递减为Ｊｅｏ０　Ｉ当ｔ一一时Ｊ的作用一０　０． ｆ去１ｅ｛ｐ一ＪＪ＂（ｅ＋￣Ｊ＂ｉｅｃ（　∞］　　一　ｅ［（ｏ）１～２Ｊｅ（　ｏｎ一ｔ｝（））ｘ＋ｅ／一）／ｏ／—）ｓ一＊）　１　８ ａ的作用依时间而趋向无足轻重。一个足够长的时间里，布朗运动的全过程具有“尔　。在马 http://www.6lib.com第六图书馆 河北师范学院学报（自然舟学版）　柯夫性质　的理论根据也为非平衡态统计力学所提供．　 １９车　９４ ４几点结论　 将布朗运动理论纳入统计力学范畴之中．同时它也就成为这棵。统计力学大树　的非平　衡态统计力学这根枝条上的一片　叶子　从而．布朗运动的非平衡态统计力学理论也就自然　．成为一种当代的“本之术　的坚实可靠的布朗运动理论了．有布朗运动在ｌ世纪７年代提出。９Ｏ　从始至今布朗运动理论随不同的时代、不同的自然科学理论、技术承平在不断提出和不断更　 替．周理，以更高的观点更新的表述来处理当代布朗运动的教材和教学，也这篇文章也许为观　点、方法方面能提供一些依据和参考．另外布朗运动的难象理论与其对应的统计＿学理论相　力比，人们分别对两种理论不同倾向是可以估计的啪ｎ．】　：　 参考文献　 ｌ１Ｐｉｏｉ　·ｒｇｇｎｅ－ｏｅｕｌｒｕＳｔｔｓｉａ　ｃａｉｓｎｅｓｉｎｅＰｕｌｈｒ（９２，Ｐ２　Ｎｎｑｉｂｉｍ　ａｉｔｃｌｍｅｈｎｃ·Ｉｔｒｃｅｃ　ｂｉｅｓ１６）ｉｓ１． ６—７．４０　 ２Ｒ·ａｅｃ　Ｂｌｕ原著．龚少明煽译．平衡态与非衡态境计力学．复旦大学出扳社｝１８，Ｐ．ｓ９９３　３［Ｌ·　英］Ｅ雷克著．勾夏棼棼等译校．费－．纯计袖理现代教程．北京太学出扳社ｃ９５Ｐ２　　８·５１１ — ５２　３一 ． 　 ４［西碡］Ｈ·肯著．铪锝申胨文刚等译一协同学·原干能出扳社ｌ１８，Ｐ７４哈　　９４８—９·　 Ａ　ＡＰＰＣＡＴＩＬＩＯＮ　　ＯＦＮＯＮＥＱＵＬＩＢＲＩＵＭ　ＴＡＴＳＣ　ＳＩＴＩＡＬ ＭＥＣＨＡＮＩ　ＣＳＴＯ　ＢＲＯＷＮ　ＯＴＩＭＯＮ　 ＭｅｇＸｉｌｎＺｈｎｇＤｅｅ　ＸｕＳｈｓａ　ｎ　ｕａ　ａ　ｐｉ　ｕｈｎ ＡｂｔａｔＩ　ｈｓｐｐｒ，ｗｅｗｉ　ｕｌ　ｐａｎｗ　ｈｏｙ　ｆＢｒｗｎｍｏｉｎｗｉｈｔｅｐｉｔｏ　ｓｒｃ　ｎｔｉ　ａｅ　ｌｂｉｕ　　ｅｔｅｒｏ　ｏ　ｔ　ｔ　ｈ　ｏｎ　ｆｌｄｏｖｅａｄｍｅｈｏ　ｏｎｎｑｉｂｉｍ　ｔｔｓｉａ　ｃａｃｎｓｅｄｏ　ｌ　ｅｒ　ＯＢｒｗｎｍｏ　ｉｗ　ｎ　ｔｄｔ　ｏｅｕｌｒｕｓａｉｔｃｌｍｅｈｎｉｓ［ｔ８　ｆｏｄｔｏｙｔ　ｏ　－ｌｈｔｏａｄｔａ　ｙｂ　ｓａｉｓｒｍｅｔｌｙｔ　ｅｌｃ　ｅｄｏｍｅ　ｅｅ　ｆｎｔｒ　ｓｉｎｉｉ　ｈ·ｉｎ。ｎ　ｈｔｍａ　ｅａ　　ｎｔｕｎａｉ　Ｏｒｆｅｔｄｖｐｎｌｖｌ　ａｕａｃｅｔｆｔｅ　ｔｏｃ ｏｙ　ｒ 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